Question

初三数学题，关于二次函数（求具体过程）

一直二次函数解析式y=ax²-(b+1)x-3a的图像经过点P(4,10)交x轴于点A（x₁,0）,B(x₂,0)两点（x₁＜x₂）。交x负半轴于c点，且满足3AO=OB (1)求二次函数解析式 (2)在二次函数的图像上是否存在点M，使锐角∠MCO＞∠ACO？若存在，请求出M的取值范围，若不存在，请说明理由。 （主要就是第二个不大会）

Answer 1

（1）根据韦达定理和3OA=OB可得出一个关于a、b的等量关系式，将P点坐标代入抛物线中可得出另一个a、b的关系式，联立两个式子即可求出待定系数的值，也就得出了抛物线的解析式； （2）如图，取A点关于y轴的对称点，那么∠A′CO=∠ACO，如果设直线A′C与抛物线的交点为N点话，那么如果使∠MCO＞∠A′CO，那么必须满足的条件为M的横坐标在A的横坐标与N的横坐标之间，据此可求出M横坐标的取值范围（M的横坐标不能为0，否则构不成锐角∠MCO）．解：（1）∵P（4，10）在图象上， ∴16a-4（b-1）-3a=10①； 依题意-3a＜0， ∴a＞0，x1x2= -3a/a=-3＜0， ∴x1＜0，x2＞0，x2=-3x1 x1+x2=x1+（-3x1）=-2x1=- b/a，x1x2=-3x1^2=-3， ∴x1^2=1，又x1＜0， ∴x1=-1， ∴x2=3， ∴b+1=2a②， 联立①②解得：a=2，b=3， ∴y=2x^2-2x-6； （2）存在点M，使∠MCO＞∠ACO，A点关于y轴对称点A′（1，0）， 设直线A′C为y=kx+b，由于直线A′C过（1，0），（0，-6），则有： {k+b=0 b=6， 解得 {k=6 b=-6． ∴y=6x-6，联立抛物线的解析式有： {y=6x-6 y=2x^2-4x-6， 解得 {x=0， {x=5 y=-6 y=24 即直线A′C与抛物线交点为（0，-6），（5，24）， ∴符合题意的x的取值范围是-1＜x＜0或0＜x＜5． 本题主要考查了二次函数解析式的确定、韦达定理的应用、轴对称图形、函数图象交点等知识．

Answer 2

解：（1）∵P（4，10）在图象上， ∴16a-4（b-1）-3a=10①； 依题意-3a＜0， ∴a＞0，x1x2= -3aa=-3＜0， ∴x1＜0，x2＞0，x2=-3x1 x1+x2=x1+（-3x1）=-2x1=- ba，x1x2=-3x12=-3， ∴x12=1，又x1＜0， ∴x1=-1， ∴x2=3， ∴b+1=2a②， 联立①②解得：a=2，b=3， ∴y=2x2-2x-6； （2）存在点M，使∠MCO＞∠ACO，A点关于y轴对称点A′（1，0）， 设直线A′C为y=kx+b，由于直线A′C过（1，0），（0，-6），则有： {k+b=0b=6， 解得 {k=6b=-6． ∴y=6x-6，联立抛物线的解析式有： {y=6x-6y=2x2-4x-6， 解得 {x=0y=-6， {x=5y=24 即直线A′C与抛物线交点为（0，-6），（5，24）， ∴符合题意的x的取值范围是-1＜x＜0或0＜x＜5．