Question

线性代数矩阵分块矩阵那一章中，如何理解，若AB=C，C的列向量可由A的列向量线性表示？

Answer 1

这里需要运用到分阵矩阵的公式。因为将A按列分块得 C = AB= (α1,.,αs) B ，根据分块矩阵的乘法公式，C 的第1列就等于 α1,.,αs 分别乘B的第1列的各元素之和。即 C 的第1列可由列向量线性表示。

由矩阵乘法定义就很容易得到了，假设C的第一列列向量是［c1，c2……cn］，则该列向量等于A［b1，b2……bn］（这里是B的第一列列向量），则c1列向量就可用A的列向量全部线性表示。c的其他列向量可以以此类推。

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r（AB）=r（B），r（BA）=r（B）。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra，Rb}。

引理：设矩阵A=（aij）sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。