Question

圆系方程怎么理解？

Answer 1

把两个圆的方程或者是一个圆和一条与其相交直线的方程写在一个圆的方程中，就是圆系方程。

圆系方程理解举例：

求过两圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的交点且面积最小的圆的方程。

分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。

解：圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的公共弦方程为x^2+y^2-25-[(x-1)^2+(y-1)^2-16]=0，即2x+2y-11=0。

过直线2x+2y-11=0与圆x^2+y^2=25的交点的圆系方程为x^2+y^2-25+λ(2x+2y-11)=0，即x^2+y^2+2λy+2λx-(11λ+25)=0。

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上。即-2λ-2λ-11=0，则λ=-11/4。

代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)^2+(y-11/4)^2=21/8。

总结：

圆系方程的主要智慧是将参数的形态放置在图像中。

参数不仅可在一次环境中表示一个变量，可在直角坐标系中表示一条数轴，还可让二次图像以一定的条件变化成无数条函数图像。