Question

一道线性代数证明题，与线性表示有关，见问题补充，谢谢啦

设A是n阶可逆矩阵，a1,a2,...,as(s<=n)都是n维非零列向量，且aitAtAaj=0(i不等于j），证明向量组a1,a2,...,as线性无关 （t是置换矩阵的意思）

Answer 1

∵A是n阶可逆矩阵，a1,a2,...,as(s<=n)都是n维非零列向量
∴Aaj≠0 (j=1,2,……,s)
ajtAtAaj≠0 (j=1,2,……,s)
作线性组合 k1a1+k2a2+...,+ksas
令 k1a1+k2a2+...,+ksas＝0
在上式两端作用ajtAtA (j=1,2,……,s) 得：
kjajtAtAaj=0 (j=1,2,……,s)
由于 ajtAtAaj≠0 所以 kj=0 (j=1,2,……,s)
即a1,a2,...,as线性无关。证毕。