Question

已知向量向量a=（4,-2），向量b=（cosα，sinα）且向量a⊥向量b，则sin^3α+cos^3

则sin^3α+cos^3α/sinα-cosα 的值为

Answer 1

向量a=（4,-2），向量b=（cosα，sinα）且向量a⊥向量b，
所以4 cosα-2 sinα=0，
sinα= 2cosα，tanα= 2.

(sin^3α+cos^3α)/(sinα-cosα)
=[(sinα+cosα)( sin²α+cos²α- sinαcosα)] /(sinα-cosα)
=[(sinα+cosα) /(sinα-cosα)] *( sin²α+cos²α- sinαcosα)
中括号内分子分母同除以cosα可得下式
=[(tanα+1)/(tanα-1)] *( sin²α+cos²α- sinαcosα)
=[(tanα+1)/(tanα-1)] *[( sin²α+cos²α- sinαcosα)/ ( sin²α+cos²α)]
第二个中括号内分子分母同除以cos²α可得下式
=[(tanα+1)/(tanα-1)] *[( tan²α+1- tanα)/ (tan²α+1)]
将tanα= 2代入可得
=3*[3/5]
=9/5.

Answer 2

向量a=（4,-2），向量b=（cosα，sinα）且向量a⊥向量b
所以
4cosα-2sinα=0
sinα=2cosα
sin^3α=8cos^3α
sin^3α+cos^3α=8cos^3α+cos^3α=9cos^3α

sin^3α+cos^3α/sinα-cosα=8cos^3α+cos^3α/2/cosα-cosα
=8cos^3α+cos^2α/2-cosα
=cosα(8cos^2α+cosα/2-1)

另外
（sin^3α+cos^3α）/（sinα-cosα）
=（8cos^3α+cos^3α）/（2cosα-cosα）
=9cos^3α/cosα
=9cos^2α