Question

已知数列{An}是等差数列，Sn是其前n项的和，求证S6， S12-S6，S18-S12也成等差数列。

要求详细，过程详细，能详细尽量详细

Answer 1

因为
S(6)=6a(1)+6×5d/2=6a(1)+15d
S(12)=12a(1)+66d
S(18)=18a(1)+153d
而
S(12)-S(6)=6a(1)+51d
S(18)-S(12)=6a(1)+87d
可见，S(6)、S(12)-S(6)、S(18)-S(12)之间满足
2[S(12)-S(6)]=S(6)+[S(18)-S(12)]
即三者成等差数列。
实际上，上面的结论可推广到S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)的情形。

此外，对于{a(n)}为等比数列，也有一个稍有不同的结论，请参考我在http://zhidao.baidu.com/question/286966790.html?oldq=1和http://zhidao.baidu.com/question/286243328.html?oldq=1的回答。

Answer 2

A1=S6=a1+a2+...+a6=6(a1+a6)/2=3(a1+a6)
A2=S12-S6=a7+a8+...+a12=6(a7+a12)/2=3(a7+a12)
A3=S18-S12=a13+...+a18=6(a13+a18)/2=3(a13+a18)
因为 A1+A3=3(a1+a13+a6+a18)=3(2a7+2a12)=6(a7+a12)=2A2
从而 A1，A2，A3成等差数列，
S6， S12-S6，S18-S12也成等差数列。