Question

一道线性代数题，关于二次型，见问题补充，谢谢啦

记a=(a1,a2,...,an)t,且二次型f(x1,x2,...,xn)=(a1x1+a2x2+...+anxn)^2的矩阵是aat，其中ai(i=1,2,...,n)不全为零，则二次型的秩为

Answer 1

二次型的矩阵为（a1^2,a1a2,a1a3.......................a1an）
(a1a2,a2^2,a2a3........................a2an)
(a1a3,a2a3,a3^2........................a3an)
............
............
(a1an,a2an,................................an^2)
其中不全为0，设有i个不为0，即a1~ai不为0
(a1^2,a1a2,a1a3.......................a1an）
(a1a2,a2^2,a2a3........................a2an)
(a1a3,a2a3,a3^2........................a3an)
............
............
(a1ai,a2ai,.........................ai^2...aian)
(0 0 0 0...........................................0)
............
............
可以前i行就可以通过行等价变换消去i-1的行数，所以秩为1

Answer 2

因为 r(αα^T) <= r(α) <=1 (只有一列)
而 α≠0, 所以αα^T≠0, 所以 r(αα^T)>=1.
所以 r(αα^T)=1.