Question

圆M：2x2+2y2-4y=23，

圆M：2x2+2y2-4y=23，直线l0：x+y=8，l0上一点A的横坐标为a，过点A作圆M的两条切线l1，l2，切点分别为B,C。

(1）当a=0时，求直线l1，l2的方程

(2）当直线l1，l2相互垂直时，求a的值

（3）是否存在点A，使得BC长为根号10？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

圆的方程是x²+(y-1)²=25/2，所以圆心是（0,1），半径是5√2/2
(1)a=0，则A(0,8)，设直线为y=kx+8，因为相切，所以|-1+8|/√(k²+1)=5√2/2，k=±√73/5
所以两条直线为y=√73/5x+8和y=-√73/5x+8
(2)当两条直线垂直时，与两个半径形成正方形，所以|MA|=√2*（5√2/2）=5，
所以a²+(8-a-1)²=25，解得a=3或4.
(3)半径5√2/2，BC的一半长为√10/2，所以圆心到BC的距离d=√10，所以d*|MA|=(√10/2)²
所以|MA|=√10/4，所以a²+(8-a-1)²=（√10/4)²，解得a²-7a+387/16=0，方程无解
所以不存在。