Question

设a、b、c是实数,若a+b+c=2根号a-1+4根号b+1+6根号c-2-12,则a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)的值为

Answer 1

分析：一般遇到多根号的式子，可以尝试考虑用换元法去掉根号。
设根号(a-1)=t，根号(b+1)=u，根号(c-2)=h，
则a=t^2+1，b=u^2-1，c=h^2+2，
所以条件的等式化为t^2+1+u^2-1+h^2+2=2t+4u+6h-12，
移项得(t^2-2t+1)+(u^2-4u+4)+(h^2-6h+9)=0，
(t-1)^2+(u-2)^2+(h-3)^2=0，
由此可见，t=1，u=2，h=3
所以a=2，b=3，c=11，
故原式=2ab+2bc+2ac=122.

Answer 2

a+b+c=2√a+1加4√b+1加6√c-2减14,

[(a+1)-2√(a+1)+1]+[(b+1)-4√(b+1)+4]+[(c-2)-6√(c-2)+9]=0

[√(a+1)-1]²+[√(b+1)-2]²+[√(c-2)-3]²=0

所以：√(a+1)-1=0,√(b+1)-2=0,√(c-2)-3=0
解得：a=0,b=3,c=11

a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)
=0+3*11+11*3

=66