Question

（2008•杭州）中考数学题

如图，记抛物线y=-x2+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…Pn-1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Qn-1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…，Pn-2Pn-1Qn-1的面积分别为S1，S2，…，这样就有S1= n2-12n3，S2= n2-42n3，…；记W=S1+S2+…+Sn-1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（　　）

麻烦您详细分析一下，不胜感激
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Answer 1

平方和公式：1^2+2^2+3^2+4^2+……+(n-1)^2+n^2
=1/6*n*(n+1)*(2n+1)
A的坐标是（1,0）。OA分为n等分，每个直角三角形的底是1/n.,P1,P2,P3....Pn-1的坐标分别是（1/n,0）,(2/n,0)....(n-1/n)
对应的每条高分别是P1Q1=-1/n^2+1,P2Q2=-2^2/n^2+1,....
Pn-1Qn-1=-(n-1)^2/n^2+1
图中共有n-1个三角形，求面积和。每个底都是1/n,面积和为
1/2*1/n*(1/n^2+1-2^2/n^2+1,....-(n-1)^2/n^2+1)
对括号内的高求和，运用平方和公式：
为{-1/6*(n-1)*（n-1+1）*【2（n-1）+1】}÷n^2+（n-1）=-(n-1)(2n-1)/6n +n-1(这一步是带平方和公式，这儿的n-1相当于原公式中的n)
所以面积和是{-(n-1)（2n-1)/6n +n-1}/2n=(2/3*n+3/2-1/6n)/2n
当n无穷大时，上式=2/3÷2=1/3(这一步应该不用解释吧)
所以面积和最接近的常数是1/3

Answer 2

根据题意知道S1、S2、、、由来吧
第m个三角形的面积中：
三角形的底为1/N；高为（m/N代入到抛物线中）-（m/N)^2+1 【X^2为X的2次方】
则Sm=(1/2)X(1/N)X [-（m/N)^2+1]
=(N^2-m^2)/(2N^3)
W=[N^2X(N-1)-(1^2+2^2+3^2+4^2+....+(N-1)^2)]/(2N^3)
其中用到一个公式：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
则W=[N^2X(N-1)-(N(N+1)(2N+1)/6-N^2)]/(2N^3)
=(4N^2-3N-1)/(12N^2)
=1/3-(3N+1)/(12N^2)
当N无限大时，(3N+1)/(12N^2)无限接近于零
则W无限接近于1/3