Question

1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+…+n*1=1/6n(n+1)(n+2)数学归纳法证明

Answer 1

证明：当n=1时，左边=1*1=1，右边=（1/6）*1*2*3=1
左边=右边，等式成立。
假设当n=k时，等式成立。
即 1*k+2*(k-1)+……+(k-1)*2+k*1=(1/6)*k*(k+1)*(k+2)
当n=k+1时
左边=1*(k+1)+2*k+……+(k-1)*3+k*2+（k+1）*1
=[1*k+1*1]+[2*(k-1)+2]+……+[(k-1)*2+k-1]+[k*1+k]+(k+1)
（把每一项分成两项）
=[1*k+2*(k-1)+……+(k-1)*2+k*1]+[1+2+……+(k-1)+k+(k+1)]
(前一项是把n=k时成立的结果带进去，后一项是等差数列)
=(1/6)*k*(k+1)*(k+2)+(1/2)(k+1)(k+2)
=(1/6)(k+1)(k+2)(k+3)
即当n=k+1时等式也成立。
综上，原等式恒成立。

Answer 2

当n=1时，左=1，右=1 成立
假设n=i时成立
当n=i+1时
1*(i+1)+2*(i+1-1)+3*(i+1-2)+...+i*2+(i+1)*1
=1*i+1+2*(i-1)+2+3(i-2)+3+...+i*1+1
=1*i+2*(i-1)+3(i-2)...+i*1 + 1+2+3...+i+1
=1/6[i(i+1(i+2)]+ 1/2[(i+1)(i+2)]
=1/6[(i+1)(i+2)(i+3)]
得证