Question

m,n为正整数,关于x的一元二次方程x²-mnx+m+n=0有正整数解,求所有可能的m,n值

Answer 1

设方程x^2-mnx+(m+n)=0的两根为a、b，则，a+b=mn,ab=m+n
又m . n. a.b均为正整数，不妨设a≥b≥1 ，m≥n≥1，于是，a+b-ab=mn-(m+n)
（a-1）(b-1)+(m-1)(n-1)=2
则（a-1）（b-1）=2或1或0
（m-1）（n-1）=0或1或2
解得：a= 3 / 2 / 5
b= 2 / 2 / 1
m= 5 / 2 / 3
n = 1 / 2 / 2
故 （m,n）=(5,1)(2,2)(3,2)

追问

有正整数解,又没有说有两个解。有没有可能是说只有一个解

追答

看清楚题，M和N均为正整数，那么两根之积ab=m+n（为正整数），两根之和 a+b=mn（为正整数），你想，既然两根之积为正整数，两根之和为正整数，两个根中间又要求至少要有一个正整数，那么另一个还有可能不是正整数吗？

Answer 2

解 设方程两整数根为x1，x2，则x1+x2=mn＞0，x1，x2=m+n＞0，再根据（x1-1）（x2-1）+（m-1）（n-1）=2，
即可进行求解：故这两个根均为正数．
又 因为（x1-1）（x2-1）+（m-1）（n-1）=2，
其中（x1-1）（x2-1），m-1，n-1均非负，而为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0．
分别可解得 ，
∴m•n的值仅有3个，