Question

已知|a|<1,|b|<1,求证:|a+b|+|a-b|<2

Answer 1

不排除一般性，设a>=b。
要证:|a+b|+|a-b|<2成立，因为左右两边都＞0，即证:（|a+b|+|a-b|）^2<4成立，展开得:即证|a+b|^2+|a-b|^2+2|a+b||a-b|<4成立即可。
|a+b|^2=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,|a-b|^2=(a-b)^2=a^2+b^2-2ab,2|a+b||a-b|=2|a^2-b^2|=2a^2-2b^2。
以上3式相加得4a^2,所以转化为证明4a^2<4成立，等价于a^2<1，显然成立，得证。