Question

设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．

设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．
（Ⅰ）若a1，S2，-2a2成等比数列，求S2和a3．
（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤ak≤ 4/3．

Answer 1

证明：因为Sn+1=a1+a2+a3+…+an+an+1=an+1+Sn，

由题设条件知Sn+an+1=an+1Sn，

∴Sn≠1，an+1≠1，且an+1=

Sn   

Sn-1   

，

 

Answer 2

1.
(S2)^2=-2a2*a1
S2=a2S1=a1a2=-(1/2)(S2)^2
(2+S2)S2=0
S2=-2或S2=0
如S2=0，则a2*a1=0且a1+a2=0，即a1=a2=an=0,a1，S2，-2a2不成等比数列;
如S2=-2，则a2*a1=-2且a1+a2=-2，符合题意，所以
S3=a3+S2=a3S2
a3=S2/(S2-1)
a3=-2/(-2-1)=2/3

2.
S(n+1)=a(n+1)Sn
S(n+1)=a(n+1)[S(n+1)-a(n+1)]
[a(n+1)-1]S(n+1)=[a(n+1)]^2
S(n+1)=[a(n+1)]^2/[a(n+1)-1]
Sn=(an)^2/(an-1)
S(n-1)=[a(n-1)]^2/[a(n-1)-1]
相减：
an=Sn-S(n-1)
=(an)^2/(an-1)-[a(n-1)]^2/[a(n-1)-1]
an/(an-1)=[a(n-1)]^2/[a(n-1)-1]

Answer 3

：（Ⅰ）由题意{S22=-2a1a2S2=a2S1=a1a2，
得S22=-2S2，
由S2是等比中项知S2≠0，
∴S2=-2．
由S2+a3=a3S2，解得a3=S2S2-1=-2-2-1=23．
（Ⅱ）证明：因为Sn+1=a1+a2+a3+…+an+an+1=an+1+Sn，
由题设条件知Sn+an+1=an+1Sn，
∴Sn≠1，an+1≠1，且an+1=SnSn-1，
Sn=an+1an+1-1
又a3=23从而对k≥3，有
0≤ak≤43．