Question

如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图像与坐标轴交于点A（-1,0）和点B（0，-5）。

已知该函数图像的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小，求点P的坐标
请解释一下下面的方法有何依据，为什么这么做

求得函数解析式为：y=x^2-4x-5
对称轴x=2
A点关于x=2的对称点为A[5,0]
连接B,A'，与x=2相交于点P，
直线BA'所在直线方程可设为y=kx+b,将B、A'的坐标分别代入得
-5=b
0=5k+b
k=1
则直线BA'的解析式为：y=x-5
当x=2时，y=-3
所以P点坐标为（2，-3）

Answer 1

求得函数解析式为：y=x^2-4x-5(把点A（-1,0）和点B（0，-5）代入y=ax²-4x+c)。
对称轴x=2(把y=x^2-4x-5化成顶点式y=(x-2)^2-9，求得函数图象的对称轴)
A点关于x=2的对称点为A'[5,0]
连接BA'，与x=2相交于点P，(两点间距离最短，点P即为所求）
直线BA'所在直线方程可设为y=kx+b,将B、A'的坐标分别代入得
-5=b
0=5k+b
k=1
则直线BA'的解析式为：y=x-5
当x=2时，y=-3(求直线BA'与函数图象对称轴交点P坐标）
所以P点坐标为（2，-3）

Answer 2

令y=0，得二次函数y=x2-4x-5的图象与x轴
的另一个交点坐标C（5，0）；（5分）
由于P是对称轴x=2上一点，
连接AB，由于AB=
OA2+OB2=
26，
要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小；（6分）
由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC；
因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点；（8分）
设直线BC的解析式为y=kx+b，
根据题意可得b=-50=5k+b​
解得k=1b=-5​
所以直线BC的解析式为y=x-5；（9分）
因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组x=2y=x-5​的解，
解得x=2y=-3​
所求的点P的坐标为（2，-3）．（

Answer 3

求得函数解析式为：y=x^2-4x-5
对称轴x=2
A点关于x=2的对称点为A[5,0]
连接B,A'，与x=2相交于点P，
直线BA'所在直线方程可设为y=kx+b,将B、A'的坐标分别代入得
-5=b
0=5k+b
k=1
则直线BA'的解析式为：y=x-5
当x=2时，y=-3
所以P点坐标为（2，-3）