Question

高数定积分求绕X轴旋转体积

请问这道题的函数图像大概是什么样子的？因为不知道图像所以不太理解画红线的部分还有为什么上下限是0到a？
最后一步求原函数的时候，a^-2可以看做常数吗？

Answer 1

高数定积分求绕X轴旋转体积 整个椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2 = 1 绕 x 轴旋转体的体积，因上半椭圆旋转与下半椭圆旋转体重复，故就是 x 轴之上半椭圆绕 x 轴旋转体的体积。半椭圆又关于 y 轴对称， 故椭圆绕 x 轴旋转体的体积，又是第 1 象限 1/4 椭圆绕 x 轴旋转体的体积的 2 倍.

Answer 2

就是橄榄球的形状。如下。所以x的积分上下限其实就是原来椭圆x的定义域
整个椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2 = 1 绕 x 轴旋转体的体积，
因上半椭圆旋转与下半椭圆旋转体重复，
故就是 x 轴之上半椭圆绕 x 轴旋转体的体积。
半椭圆又关于 y 轴对称， 故椭圆绕 x 轴旋转体的体积，
又是第 1 象限 1/4 椭圆绕 x 轴旋转体的体积的 2 倍.

Answer 3

就是橄榄球的形状。如下。所以x的积分上下限其实就是原来椭圆x的定义域 (-a,a).但很显然，橄榄球是关于z轴对称的，(0,a)的体积就是总体积的一半。所以就有了题目图片的等式。

Answer 4

高数定积分求绕X轴旋转体积 整个椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2 = 1 绕 x 轴旋转体的体积，因上半椭圆旋转与下半椭圆旋转体重复，故就是 x 轴之上半椭圆绕 x 轴旋转体的体积。半椭圆又关于 y 轴对称， 故椭圆绕 x 轴旋转体的体积，又是第 1 象限 1/4 椭圆绕 x 轴旋转体的体积的 2 倍.