Question

随机变量的期望和方差是什么？

Answer 1

期望：在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望是试验中每次某个可能结果的概率乘以这个结果数值的总和。

如果假设每次试验出现结果的概率相等，期望就是随机试验在同样的机会下重复多次的结果相加，计算出的等概率“期望”的平均值。需要注意的是，期望值也许与每一个结果都不相等，因为期望值是该变量输出值的平均数，期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

离散型随机变量期望的公式化表示为如下，假设随机变量为XX，取值xi(i=1,2,...,n)xi(i=1,2,...,n)，对应发生概率pi(i=1,2,...,n)pi(i=1,2,...,n)，E(X)E(X)为随机变量的期望：E(X)=∑ni=1pixiE(X)=∑i=1npixi。

当pi(i=1,2,...,n)pi(i=1,2,...,n)相等时，也即pi=1npi=1n时，E(X)E(X)可以简化为：E(X)=1n∑ni=1xiE(X)=1n∑i=1nxi

 连续型随机变量的期望，可以使用求随机变量取值与对应概率乘积的积分求得，设XX为连续性随机变量，f(x)f(x)为对应的概率密度函数，则期望E(X)E(X)为：E(X)=∫xf(x)dxE(X)=∫xf(x)dx。

方差：在概率论和数理统计中，方差(Variance，符号D，或σ2σ2)用来度量随机变量与其数学期望(即均值)之间的偏离程度，在计算上，方差是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。

方差是衡量数据离散程度的一个标准，用来表示数据与数据中心(均值)的偏离程度，方差越大，则数据偏离中心的程度越大。同时，变量的期望相同，但方差不一定相同。

 依旧以离散型随机变量为例，假设随机变量为XX，取值xi(i=1,2,...,n)xi(i=1,2,...,n)，μμ为随机变量的数学期望(均值)，那么离散型随机变量XX的方差可以表示为：D(X)=1n∑ni=1(xi−μ)2D(X)=1n∑i=1n(xi−μ)2。

 在计算上，如果已知随机变量XX的期望E(X)E(X)，则方差的计算可以简化为：D(X)=E(X−E(X))2=E(x2)−[E(x)]2D(X)=E(X−E(X))2=E(x2)−[E(x)]2 。