Question

格林函数法

Answer 1

在涉及场和势的物理中，总会出现根据一定的边界条件求解拉普拉斯方程或者泊松方程在区域内的解的问题，也就是由场源和边界求解势场。

这个格林函数法就是求解这一问题的一种方法，以前学习电动力学时只觉得形式复杂，而且也没有什么必要去解势场，所以，一直对这个东西也不太明白。直到，这几天，发现这东西和线性系统响应非常相似，在一本书中作者也点明了他们之间的关系，信号处理理论是线性系统响应在时域上的表现，而格林函数理论则是在空间域上的表现。于是，很多问题就得到了解答。

物理系统的观点还是比较深入的，一般是根据系统内粒子的动力学性质进行运动微分方程求解，获得一系列欲求的物理量，比如电磁场方程，薛定谔方程，一般就是介绍可解析求解的方程，虽然形式复杂，涉及很多特殊函数，但是总归是性质比较好的方程。

对于一些不可解析求解的方程，就没办法了。这其实就是解析函数理论求解微分方程，假定解为收敛的幂级数，通过系数项关系，化简得到一堆收敛幂级数函数，也就是解析函数，这是特殊函数理论的基础。但是，当我们考虑信号和系统里面的各种系统响应函数的求解方法时，就可以发现方法还有很多微分算子法，卷积积分法，积分变换法等等。这些方法自然也早已在物理里面应用了。

格林函数法对应的就是卷积积分法，实际上就是对信号的冲激信号分解，将任意信号分解为冲激函数的线性组合，或者说是积分。也可以理解为可测函数理论的做法，任意的可测函数都可以分解为示性函数的线性组合，可测函数的积分理论就是建立在这个基础上的。所以，我们姑且可以将卷积积分法视为可测函数理论，相比较于解析函数理论，其包含的函数范围自然是得到了极大的推广。毕竟解析函数是连续函数的一个子集，连续函数是可测函数的一个子集。

所以，对于解析函数理论不能解决的问题，格林函数是可以解决的。但是，一般我们不会去使用这个高级手段，因为，可测函数毕竟性质不太好，一般都会涉及无穷项的问题，往往还是不可数的，所以，无法写成比较规整的形式，显得很散乱。这也是可测函数理论的问题，虽然我们遇见的几乎所有函数都是可测函数，但是很多函数的表示形式非常糟糕，看不出有什么特殊的物理意义。因为可测函数允许人们逐点的定义函数值，然后写上一个积分号或者求和号，这就跟废话一样，完全给不出任何想要信息。所以，一般就沦为了数值计算的境地。

好的，来考虑电磁场泊松方程求解问题，拉普拉斯方程是无源的波动方程，而泊松方程是有源的，所以就更加复杂，对于这个源，由于是占据了空间，而且满足物理上叠加性，所以可以通过分解的方法表示成可测函数，也就是不同空间点的单位正电荷的线性叠加，于是，只要我们能够求得空间中任意位置的单位正电荷响应，就可以通过叠加的方法获得整个有源空间的响应函数，也就是电势场。这种冲激响应的求解，相比于原问题就得到了极大的简化，因为可以使用δ函数理论，极大的简化积分运算。具体的求解，就是传递函数法，系统的传递函数将激励和响应联系到了一起。这个传递函数就被称为格林函数，或者传播函数，传播子。所以，这种方法在相对论力学中也是经常使用的。