Question

已知正项数列｛an}的前n项和Sn=(an^2+an)/2,bn=(1+1/2an)^an

(1)求数列｛an}的通项公式

Answer 1

2Sn=an^2+an，2S(n+1)=a(n+1)^2+a(n+1)
2S(n+1)-2Sn=2a(n+1)=a(n+1)^2-an^2+a(n+1)-an
[a(n+1)+an][a(n+1)-an]-[a(n+1)+an]=0
[a(n+1)+an][a(n+1)-an-1]=0
因为a(n+1)>0，an>0，所a(n+1)-an-1=0，
又因为a1=S1=(a1^2+a1)/2，则a1=1。
所以，数列{an}是首项为1、公差为1的等差数列，能通项公式为an=n(n=1,2,3,……)。

Answer 2

首先由a1=S1=1 得a1=1
第二步，an=sn-s(n-1) 可得
2an=an^2+an-(a(n-1)^2+a(n-1))
移项化简可得
an^2-an=a(n-1)^2+a（n-1)
配方得
（an-1/2)^2=(a(n-1)+1/2)^2
由正项数列可推出 an=a(n-1)+1
结合a1=1 由归纳法知 an=n

Answer 3

an=n