Question

二阶微分方程的通解公式是什么？

Answer 1

第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。

第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关。

举例说明：

求微分方程2y’'+y'y=0的通解。

先求对应的齐次方程2y’'+y'一y-0的通解。

特征方程为2r3+r-1=0。

(2r-1)(r+1)=-0。

r=1/2或r=-1。

故通解为Y=c1 e^(x/2)+c2e^(一x)。

因为1不是特征根，所以设原方程的特解为y*=Ae ^x。

则]y*’=y*’'=Ae ^x。

代入原方程得，2Ae ^x=2e~x。

=1。

故y*=e ^x。

所以原方程的通解为y=Y+y*。