Question

在如图的直角坐标系中 已知点A(0,3)、点C(1,0)等腰RT三角形ACB的顶点B在抛物线y=ax²-ax-1上

（2）在抛物线上是否存在点P（点B除外），使三角形ACP是以AC为直角边的直角三角形？求所有点P的坐标。
（3）在抛物线上是否存在点Q（点B除外)，使三角形ACQ是以AC为直角边的等腰直角三角形？求点Q的坐标。

Answer 1

 (1) 过B作BD⊥x轴,则△AOC≌△CDB

     ∴B（4，1）

     将B（4，1）代入y=ax²-ax-1

     得Y=1|6x²-1|6x-1（那个“1|6”十六分之一）

（2）以C为直角顶点时P是BC与1|6x²-1|6x-1的交点

         BC的解析式为Y=1|3x²-1|3解得P1（－1，－23）（其中点B舍去 ）       

         以A为直角顶点时，过A的直线平行于BC，∴易得解析式为Y=1|3x²+3,       

         与抛物线交点  P2（2分之（3+√105），6分之（3-√105）+3

（3）不存在

         理由：以C为直角顶点时，点B关于AC的对称点B/(―2,―1)不满足抛物线解析式

         以A为直角顶点时，令AQ1＝AC，求得Q1(―3，2) 不满足抛物线解析式

         同理，当AQ2＝AC时，求得Q2（3，4）不满足抛物线解析式

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Answer 2

在如图的直角坐标系中 已知点A(0,3)、点C(1,0)
等腰RT三角形ACB的顶点B在抛物线y=ax²-ax-1上 （2）在抛物线上是否存在点P（点B除外），使三角形ACP是以AC为直角边的直角三角形？求所有点P的坐标。（3）在抛物线上是否存在点Q（点B除外)，使三角形ACQ是以AC为直角边的等腰直角三角形？求点Q的坐标。

Answer 3

解：（1）过B作BD⊥x轴，则△AOC≌△CDB，∴B（4，1） 将B（4，1）代入21yaxax=−− 得：211166yxx=−− -----------2分 （2）以C为直角顶点时P是BC与211166yxx=−−的交点, BC的解析式为1133yx=−; 解得P1（－1，－23）（其中点B舍去）--------------------------2分 以A为直角顶点时，过A的直线平行于BC，∴易得解析式为133yx=+, 与抛物线交点： P2（3105,2+31053)6++、 P3（3105,2−31053)6−+---------------------------------2分 （3）不存在----------------------------------------------------------------------------------------------------1分 理由：以C为直角顶点时，点B关于AC的对称点B/(―2,―1)不满足抛物线解析式--------1分 以A为直角顶点时，令AQ1＝AC，求得Q1(―3，2) 不满足抛物线解析式---------------------1分 同理，当AQ2＝AC时，求得Q2（3，4）不满足抛物线解析式------------------------------------1