Question

如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点M(-1,2)、N(1,-2),且与x交于A、B两点，与y轴交于点C.

（1）求b的值；
（2）若∠ACB=90°，求抛物线解析式；
（3）在（2）中，抛物线的对称轴上是否有点P使△PAC的周长最小？若有，求出P的坐标。

Answer 1

1) 抛物线y=ax2+bx+c经过点M(-1,2)、N(1,-2)
a-b+c=2 ①
a+b+c=-2 ②
②-①得
2b=-4 b=-2
2)点C(0,c) A(x1,0) B(x2,0)
∠ACB=90°
AC·CB= (-x1,c)(x2,-c)=-x1x2-c²=0
x1x2=c/a
-c/a-c²=0
①+②得 a+c=0
c=-1 a=1
抛物线解析式y=x²-2x-1
3）对称轴 x=1
存在 （1，-√2/√2+1）

Answer 2

解：
（1）把点M(-1,2)、N(1,-2)代入y=ax^2+bx+c，有：
2=a-b+c
-2=a+b+c
解得b＝-2，a=-c
（2）∠ACB=90°，所以OC^2=IOA*OBI，即c^2=Ic/aI，IacI=1，从图像上看可知a>0，c<0
所以a=1，c=-1，所以抛物线解析式为y=x^2-2x-1
（3）抛物线的对称轴x=1，B点是A 点关于对称轴x=1的对称点，B点的坐标为（1+根号2，0），连接BC交对称轴于P，点P即为所求。直线BC的解析式求得为y=(根号2-1）x-1，所以当x=1，y=根号2-2，即当P的坐标为（1，根号2-2）时，△PAC的周长最小。

Answer 3

解：（1）将M，N两点的坐标代入抛物线解析式，得

a-b+c=2，①a+b+c=-2．②​

②-①，得
2b=-4
∴b=-2．

（2）由（1）b=-2，a+c=0
所以抛物线的解析式可写为y=ax2-2x-a
则C（0，-a）
设A（x1，0），B（x2，0）
则x1，x2是方程ax2-2x-a=0的二根
从而x1x2=-1
由所给图形可知OC=a，OA=-x1，OB=x2
∵OC2=OA•OB
∴a2=-x1x2
∴a2=1
∴a=1（a＞0）
∴抛物线解析式为y=x2-2x-1．

（3）在抛物线对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小．
∵AC长为定值
∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小
∵点A关于对称轴x=1的对称点是B，由几何知识知PA+PC=PB+PC，BC与对称轴的交点为所求点P．
由（2）知B（
2
+1，0），C（0，-1），经过点B（
2
+1，0），C（0，-1）的直线为y=（
2
-1）x-1，
当x=1时，y=
2
-2．
即P（1，
2
-2）．