Question

已知 a,b是正实数,a+b=1,求证（a+1/a）*（b+1/b）>=25/4

Answer 1

因为a+b=1,所以原式=(2a+b/a)*(2b+a/b)=(2+b/a)*(2+a/b)=4+2(a/b+b/a)+1=5+2(a/b+b/a)>=5+2*2=9(当且仅当a=b=1/2时取等号),即原式>=9.不知道为什么原式要证明>=25/4?显然9>25/4,因此（a+1/a）*（b+1/b）>=25/4

Answer 2

去括号为ab+1/ab+a/b+b/a
＝（ab＋1/ab）＋（a/b＋b/a）
根据基本不等式，当且仅当a＝b时（a/b＋b/a）有最小值
即a/b＋b/a≥2√a/b×b/a＝2＝4/8
∵a＋b＝1 由上可得a＝b
∴a＝b＝0.5
∴ab＋1/ab＝0.5×0.5+1/0.5×0.5＝0.25＋4＝4.25＝17/4
综上∵（ab＋1/ab）＝17/4，(a/b＋b/a)的最小值为8/4
∴原式的最小值为25/4
即(a＋1/a)(b＋1/b)≥25/4