已知 a,b是正实数,a+b=1,求证(a+1/a)*(b+1/b)>=25/4

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2022-06-01 · TA获得超过6752个赞
知道小有建树答主
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因为a+b=1,所以原式=(2a+b/a)*(2b+a/b)=(2+b/a)*(2+a/b)=4+2(a/b+b/a)+1=5+2(a/b+b/a)>=5+2*2=9(当且仅当a=b=1/2时取等号),即原式>=9.不知道为什么原式要证明>=25/4?显然9>25/4,因此(a+1/a)*(b+1/b)>=25/4
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忘过旧
2023-08-12
知道答主
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去括号为ab+1/ab+a/b+b/a
=(ab+1/ab)+(a/b+b/a)
根据基本不等式,当且仅当a=b时(a/b+b/a)有最小值
即a/b+b/a≥2√a/b×b/a=2=4/8
∵a+b=1 由上可得a=b
∴a=b=0.5
∴ab+1/ab=0.5×0.5+1/0.5×0.5=0.25+4=4.25=17/4
综上∵(ab+1/ab)=17/4,(a/b+b/a)的最小值为8/4
∴原式的最小值为25/4
即(a+1/a)(b+1/b)≥25/4
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