Question

定积分旋转体体积的问题

定积分平面面积沿着X轴转的旋转体和Y轴的旋转体体积相等吗？
我觉得不等。。
用最简单的例子来说吧，y=x^2，区间（0,1）内，函数图像与X轴围成的面积。与y轴旋转所得的体积，怎么求？
x轴的自然会了。你能讲明白点么，逃课了学不明白。。
微元法什么的不是很明白，总之是用V=∫(b-a)π*f^2(x)dx计算，y轴的话应该是dy吧。就用我给的那个公式算就好了。这道题我只是举个例子，所以楼下那位“圆筒”的算法不能适用

Answer 1

首先你将图画出来，在（0,1）上，图像在y轴投影区间也是（0,1），我们绕y轴旋转后得到一个立体图形对吧，在y轴上的点y处取一段微元dy，这段微元必然与一段体积微元dv对应，将这个体积微元近似看做一个圆柱体，高为dv，底面积为π*r^2，这里的r即为x，根据函数可将x用y表示出来，即为x=sqrt（y），平方就为y，积分就为V=∫dv==∫π*（x^2）dy=∫π*ydy，积分区域为（0,1），结果算出来为π/2

Answer 2

我们先考虑一个关于y轴对称的圆筒，内壁半径是r1，外壁半径是r2，厚度是\delta x，高度是h. 那么它的体积是\pi * r2^2 * h-\pi * r1^2 * h=2*\pi * r * h * \delta x，其中r=(r1+r2)/2.

下面我们来看y=f(x)绕y轴旋转的体积。把x轴切成\delta x的小块，这样在曲线f(xi)~f(xi+\delta x)绕y轴旋转得到的体积Vi我们估计为2*\pi * xi * f(xi) * \delta x. 把所有Vi这样的小块加起来求极限
lim (n->infinite) V1+V2+...+Vn
= lim (n->infinite) 2*\pi * xi * f(xi) * \delta x
= \integral 2*\pi * x * f(x)* dx.
\integral 是积分号。\pi是3.1415那个。\delta x 是‘三角形x’。这个不用我说也应该知道吧。