Question

条件收敛与绝对收敛

∑(-1)^n * un条件收敛 ，到底能不能推导出∑un发散呢？根据条件收敛定义，可以肯定∑∣un∣是发散的。
如果有∑un不发散的情况，请给出反例。

Answer 1

当然有∑un不发散的情况。
例如，取u2k-1=u2k=(-1)^k/k(k=1,2……）
从而，∑un收敛（因为其相当如两个交错级数）
而∑(-1)^n * un=0.
∑∣un∣=2∑1/n 发散。
从而∑un不一定发散。
不知道你看懂没，有些符号没法打。

Answer 2

注意同济第五版 202页，到数第三段“一般来说。。。。。。”里面有详细地解释。∑∣un∣发散，∑un未必发散。

比如把调和级数简单的变一下形
∑（-1）^n (1/n) 他就是收敛的 （交错级数审敛法），但是加上绝对值以后就变成了调和级数，调和级数是发散的。

Answer 3

条件收敛与绝对收敛，判断条件收敛性