Question

已知曲线C1:y=x^2与C2:y= -(x-2)^2,直线L与C1,C2都相切,求直线L的方程

用导数的方法

Answer 1

解：设直线l的方程为y=kx+b，由直线l与C1：y=x2相切得，
∴方程x2-kx-b=0有一解，即△=k2-4×（-b）=0 ①
∵直线l与C2：y=-（x-2）2相切得，方程x2+（k-4）x+b+4=0有一解，
∴△=（k-4）2-4（b+4）=0 ②
联立①②解得，k1=0，b1=0；k2=4，b2=-4；
∴直线l的方程为：y=0或4x-y-4=0．

Answer 2

方程是y=0
设这个直线L为y=kx+b
∵直线L和C1、C2相切
∴（1）y=kx+b y=x² 有一个交点，则方程x²-kx-b=0 只有一个解，
即此方程的△=k²+4b=0
(2)y=kx+b y=-(x-2)² 有一个交点,则方程 -（x-2）²-kx-b=0 （此方程化简为x²+(k-4)x+b+4=0） 只有一个解
此方程的△=(k-4)²-4b-16=k²-8k-4b=0
上述（1）（2）中关于k和b 的式子联立，可以解出k=0 b=0
则直线L为 y=0 （即X轴）的直线

Answer 3

设切线斜率为2k, 在C1切点为(a,a^2), C2切点为（b, -(b-2)^2)
y=x^2 ==> y'=2x ==> y'(a)=2a=2k ==> a=k
y=-(x-2)^2 ==> y'=-2(x-2) ==> y'(b)=-2(b-2)=2k ==> b=2-k
C1切点为(k,k^2), C2切点为（2-k, -k^2)
此两点的斜率=2k^2/(2k-2)=k,
解得：k=0
所以切线L为：y=0.