Question

已知圆C过双曲线X^2/9-Y^2/16=1一个顶点和一个焦点,且圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离

Answer 1

圆心在双曲线上,
圆C只能过同侧的顶点和焦点
不妨设过右侧的顶点和焦点
双曲线X^2/9-Y^2/16=1
其中，a=3,b=4,c=5
顶点A(-3,0）焦点F（5,0）
圆心C在直线x=4上
将x=4代入X^2/9-Y^2/16=1
得：y^2=112/9
∴ 圆心到双曲线中心的距离
|OC|=√(X^2+Y^2）
=√(16+112/9)=16/3

Answer 2

由X^2/9-Y^2/16=1可得一焦点为（5.0），一顶点（0.4）。
可设圆的方程为(X-a)^2+(X-b)^2=r^2
由于一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上可得
1.(5-a)^2+(0-b)^2=r^2 2.(0-a)^2+(4-b)^2=r^2 3.a^2/9-b^2/16=1
联立3个方程，联立1和2可消去r^2得10a-8b-9=0。再与3联立，两式可求两未知数a，b。（由于数目过大，我没有去求出来，由楼主解决）
再将a，b代入则可求得圆的方程为(X-a)^2+(X-b)^2=r^2
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