Question

设函数Y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x). 求（1）求f(x)的解析式和定义域 （2）讨论f(x)的单调性

Answer 1

lg(lgy)=lg3x+lg(3-x)=lg[3x(3-x)]
lgy=3x(3-x)
y=1000^[x(3-x)]
因为lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)
所以3x≥0 且 3-x≥0
所以定义域：0≤x≤3

设z=3x-x^2 则f(x)=1000^z
z=-x^2+3x=-(x-3/2)^2+9/4
所以z≤9/4
定义域：0≤x≤3
所以-3/2≤x-3/2≤3/2
所以0≤-(x-3/2)^2+9/4≤9/4
即0≤z≤9/4
所以1000^0≤1000^z≤1000^(9/4)
即1≤f(x)≤10^(27/4)
所以f(x)的值域为[1，10^(27/4)]

0≤x<3/2时，t是增函数，所以y=1000^[x(3-x)]也是增函数
3/2≤x≤3时，t是减函数，所以y=1000^[x(3-x)]也是减函数

Answer 2

lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)=lg(9x-3x²）
lgy=9x-3x²
y=10^(9x-3x²）
f(x)=10^(9x-3x²）
定义域为0<x<3
0<x<3/2时单调递增
3/2<x<3时单调递减