Question

设F1，F2,分别是椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左，右焦点,过F1且斜率为1的直线l与C交于A，B两点

设F1，F2,分别是椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左，右焦点,过F1且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，且AF1,AB,BF2，成等差数列
求证a=根号2b
设点P（0，-1）满足PA=PB，求椭圆C的方程

Answer 1

若AF2,AB,BF2成等差数列，则|AF2|+|BF2|=2|AB|,
又因为|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF2|+|BF2|+||AF1|+|BF1|=4a，
所以3|AB|=4a，|AB|=4a/3 ①，
设直线L为y=x+c，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
将y=x+c代入x²/a²+y²/b²=1，整理得(a²+b²)x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0(﹡)，
所以x1+x2=-2a²c/(a²+b²)，
又由焦半径公式得|AB|=|AF1|+|AF2|=a+ex1+a+ex2=2a+e(x1+x2)，
所以|AB|=2a+e[-2a²c/(a²+b²)]=2a-2ac²/(a²+b²)=4b²/(a²+b²) ②，
由①、②得4a/3=4b²/(a²+b²) ，所以a²=2b²，即a=√2b。
此时，c=b=√2/2，方程(﹡)变为3x²+2√2ax=0，
所以x1=0，x2=-2√2a/3，故A(0, √2a/2)，B(-2√2a/3,-√2a/6)，
因为P(0.-1)，且|PA|=|PB|，即|PA|²=|PB|²
所以(√2a/2+1)²=( -2√2a/3)²+( -√2a/6+1)²，解得a=0(舍去)，或a=3√2，
所以椭圆C的方程是x²/18+y²/9=1。