Question

关于无穷反常积分的一个性质，如何证明

函数f(x)是连续函数 且 ∫[a，+∞]f(x)dx 收敛 则 lim x→+∞ f(x)=0
怎样证明。

Answer 1

此结论错误，这是无穷积分值得注意的一个地方：无穷积分收敛，f(x)连续，非负或者可能还有别的条件，不足以保证lim f(x)=0。反例：f(x)=sin(x^2)，或者f(x)=x^2/(1+x^8sin^2x)。这些都是无穷积分中很重要的例子。
条件变为f(x)一致连续，则结论成立。证明比较复杂：对任给的e>0，存在d＝d(e)>0，使得只要|x1－x2|<d，就有|f(x1)－f(x2)|<e/2。对上述已取得的e和d，考虑ed/2>0，由积分收敛，存在A>0，使得对任意的x>A，有|积分(从x到x+d)f(t)dt|<ed/2。于是由积分中值定理，存在c位于(x x+d)，使得|f(c)|*d＝|积分(从x到x+d)f(t)dt|<ed/2，于是|f(c)|<e/2，故|f(x)|<=|f(x)－f(c)|+|f(c)|<e。因此由定义知结论成立。

追问

什么叫一致连续？

追答

没学过？f(x)一致连续：对任给的e>0，存在与x无关的d＝d(e)>0，对任意的|x1－x2|<d，有|f(x1)－f(x2)|<e。与连续相比是找到的d只能与e有关，与变量x位于定义域的什么地方没有关系，比连续的条件要强。没学过的话，建议你记住上面的结论：广义积分收敛+连续不能保证limf(x)=0。

追问

那有这样一道题：
函数f(x)在[0，+∞]是连续函数，lim x→+∞ f(x)=1，问：∫[0，+∞]f(x)dx有没有可能收敛？
可能的话 请给出例子

追答

肯定不收敛，lim f(x)=1，则存在A，使得当x>=A时，|f(x)－1|1－1/2=1/2，因此积分趋于无穷。不收敛。