Question

已知函数f(x)=x²+ln(x-a) a属于R

(1)若f(x)有两个不同的极值点,求a的取值范围 (2)a≤-2时,求函数f(x)在[-1,0]上的最大值

Answer 1

1)定义域为x>a
f'(x)=2x+1/(x-a)=1/(x-a)*[ 2x^2-2ax+1]
g(x)=2x^2-2ax+1=0 需有两个大于a的根,要满足以下条件：
delta=4a^2-8>0, 得：a>√2 or a<-√2
对称轴x=a/2>a, 得：a<0
g(a)=2a^2-2a^2+1=1>0
综合得：a<-√2.
2)a<=-2时，极值点为 x1, x2, x1<x2
x1=[a-√(a^2-2)]/2<=-1， 不在区间[-1,0]上
, f(x1)为极大值， f(x2)为极小值
f(-1)=1+ln(-1-a)
f(0)=0+ln(-a)=ln-a
a<=-2, 有f(-1)-f(0)=1+ln(-1-a)-ln(-a)=1+ln[-1/(-a)+1)]>1+ln(1/e)>0
f(-1)>f(0)
所以最大值为f(-1)=1+ln(-1-a)