Question

杨辉三角的规律是什么？

Answer 1

杨辉三角的规律是每行数字的第一列和最后一列的数字都是1，从第三行开始，除去第一列和最后一列都为数字1以外，其余每列的数字都等于它上方两个数字之和。

从规律中我们可以看出杨辉三角形是对称的，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n行的数分别为：

（1)中第n行之前的数字之和。

（2)中第n行之前的数字之和。

（3)中第n行之前的数字之和。

（4)中第n行之前的数字之和。

应用

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。例如在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数（性质 8），第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数，即：

以此类推又因为性质5：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：

因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。