Question

如图1边长为1的正方形ABCD中,点E,F分别为AB,BC的中点,将三角形BEF剪去,将三角形AED

,三角形DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于P点得一三棱锥如图2所示
（1）求证：PD垂直于EF
（2）求三棱锥P-DEF的体积
（3）求DE与平面PDF所成角的正弦值

Answer 1

(1)∵AD垂直AE， CD ⊥CF ∵A,C是P点
∴PD垂直面PEF ∴PD⊥EF
(2)PE=PF=1/2 EF=√2/2 ∴△EPF是直角三角形
V=1/3Sh S=1/2PE*PF h=PD
∴V=1/24
（3）EP⊥PD EP⊥PF
∴EP⊥面PDF EP=1/2 PD=1
∴DE=√5/2 ∴sin=√5/5