Question

若A组可由B组线性表示,但B组不可由A组线性表示,为什么A的秩小于B?

Answer 1

A的秩必然小于B的秩，也就是A不可能满秩，所以|A|＝0。

对于Ax=b这个方程组，不就是求用A的列向量。

换个方式写就是Ax=[a1，a2，a3]x＝x1a1+x2a2+x3a3=b。

（a1，a2，a3是A的列向量，x1，x2，x3是列向量x的三个元素）。

注意

使用计算机按上述方法求矩阵的秩时，可能涉及浮点数。此时基本高斯消去(LU分解)可能是不稳定的，可以使用奇异值分解(SVD)或有支点(pivoting)的QR分解。秩的数值判定要求对一个值比如来自 SVD 的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。

在解析几何中，矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系；在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的（或可观察的）。