Question

[1^x+2^x+3^x+....+(n-1)^x/n^x]的通项公式如何求？

忽略原题

f(x)=lg[(1^x+2^x+3^x+....+(n-1)^x+n^x*a)/n] (a∈R,n∈N,n≥2)在x∈(-∞,1]上总有意义,求a的取值范围

Answer 1

没有，这是世界性难题，除了几个特殊的x值外没有通项公式。

追问

那请问分子部分的通项可求否?

追答

就是分子部分的通项没有，分母多简单啊。

追问

是我方法错了 解下这题好不
f(x)=[1^x+2^x+3^x+....+(n-1)^x+n^x*a]/n (a∈R,n∈N,n≥2)在x∈(-∞,1]上总有意义,求a的取值范围

追答

f(x)的表达式有误吧？从表达式来看，a取任何值都有意义啊。是不是还要取极限？

追问

不好意思之前打得快漏了 中括号前有log (以10为底) 在的话麻烦再看下之后追加

追答

log[1^x+2^x+3^x+....+(n-1)^x+n^x*a]/n (a∈R,n∈N,n≥2)在x∈(-∞,1]上总有意义等价于[1^x+2^x+3^x+....+(n-1)^x+n^x*a]/n>0对x∈(-∞,1]等价于[1^x+2^x+3^x+....+(n-1)^x]/n^x+a>0 对所有的x∈(-∞,1]，注意(k/n)^x在（－无穷 1]上递减，因此等价于x＝1时不等式成立即可，即(n－1)/2+a>0成立。若n还可变化，就要求当n＝2时有a+1/2>0，于是a>－1/2。

追问

[1^x+2^x+3^x+....+(n-1)^x]/n^x该式递减如何证明? 分子不能视为k^x吧..

追答

分拆开：k/n<1，于是(k/n)^x是递减函数，1<=k<=n－1。每一个是递减的，n－1个递减函数的和函数还是递减的。