Question

积分lnx/(1+x)

Answer 1

这个函数没有初等原函数。

事实上，令t=1/(1+x)，则x=1/t-1，dx=-(1/t²)dt，
∫(lnx/(1+x))dx
=∫-t(1/t²)ln(1/t-1)dt
=∫(-ln(1-t)/t)dt+∫(lnt/t)dt
=∫(Li(1,t)/t)dt+∫lnt dlnt
=Li(2,t)+(lnt)²/2+C
=Li(2,1/(1+x))+(ln(1+x))²/2+C。
这里Li是多重对数函数，不是初等函数。事实上，如果结果可以表示成初等函数，那么Li(2,t)也能表示成初等函数，而这是不可能的。因此这个函数没有初等原函数。
关于多重对数函数的知识可以参见百科或维基。

Answer 2

∫lnxdx/(1+x)
=∫lnxdln(1+x)
=ln(1+x)lnx-∫ln(1+x)dx/x 不可能用初等函数表示

Answer 3

∫lnxdx/(1+x)
=∫lnxdln(1+x)
=ln(1+x)lnx-∫ln(1+x)dx/x

然后∫ln(1+x)dx/x 用幂级数做