Question

什么是方程式解题法？

Answer 1

解方程

Solving Equations

最著名的公式之一是二次方程的通解公式，如果方程写为：

那么通解公式就可以告诉我们方程的解为：

以及

无论a，b，c的值是多少，这个公式都可以告诉你解是多少。它们使用起来很方便。

这有一个类似的但复杂得多的公式可以告诉你三次方程的通解，方程的形式为：

还有一些更复杂的方程可以告诉你四次方程的通解，这些方程可以写为：

虽然关于二次，三次，四次方程的通解公式看起来有些复杂，但是它们只包含了有限个运算操作：加、减、乘、除、开平方、开三次方、开四次方。

我们想要的是一个公式，这个公式只包含加减乘除和求根操作。如果一个方程具有这样一个通解公式，那么我们说这个方程是有根式解的。

1824年阿贝尔证明的结论是：对于一般的五次方程，不存在根式解。当然，这并不意味所有的五次方程都是没有根式解的。例如，多项式方程：

拥有一个解：

。

但是对于一般的五次方程，确实不存在一个普适的根式解公式。

阿贝尔证明了这一结果，但几年后，伽罗瓦才真正意识到为什么五次方程不存在根式解。伽罗瓦常被认为群论的奠基人，群论是一门研究对称性的数学。 我们通常认为对称性是一种视觉现象：一幅画或图案可能是对称的。但是对称性和方程有什么关系呢？答案有些微妙，但非常美丽。

不变的对称性

Unchanging Symmetry

首先，让我们思考对称性真正的含义。我们说一个正方形是对称的是因为我们将它绕着中心轴旋转90度，或者将它对于各种轴做反射操作并不会改变它的外观。所以对称性意味着没有变化：如果我们对某个物体进行某种操作之后并没有改变它，那么它就具有对称性。

当我们思考二次方程式，我们可以发现少许对称性。例如，二次方程

拥有两个解

方程具有两个离散的解，但是某种意义上，它们非常相似：只需在一个解上加上一个负号就可以得到另一个解。也许交换两个解并不会带来什么不同，就像对正方形做镜像操作一样意味着一种对称性一样，交换方程的两个解也许也意味着某种对称性。