证明二元函数的极限不存在

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专炎希未留际2038
2021-11-02 · TA获得超过265个赞
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分子分母同时除以XY,得1/((1/X)+(1/Y)),1/Y->∞,原式变成(X->0,Y->∞)limX ->∞,故不存在极限。

lim

0,y-->0>[√(xy+1)-1]/(x+y)

=lim

0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]

这步是等价无穷小代换,是没有问题的。

沿y=0,lim

0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]=lim

0>0/(2x)=0

沿y=-x+x^2,lim

0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]

==lim

0>(-x^2+x^3)/[2(x^2)]=-1/2

两种方式极限不相等,所以原来的极限不存在。

含义

与自变量x、y的一对值(即二元有序实数组)(x,y)相对应的因变量z的值,也称为f在点(x,y)处的函数值,记作f(x,y),即z=f(x,y).函数值f(x,y)的全体所构成的集合称为函数f的值域,记作f(D),即f(D)={z|z=f(x,y),(x,y)∈D}。

与一元函数的情形相仿,记号f与f(x,y)的意义是有区别的,但习惯上常用记号“f(x,y),(x,y)∈D”或“z=f(x,y),(x,y)∈D”来表示D上的二元函数f.表示二元函数的记号f也是可以任意选取的.例如也可以记为z=φ(x,y),z=z(x,y)等。

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