Question

两道初三的数学题，关于圆和相似的

1. 如图1，AB，AC是圆O得两条弦，且AB＞AC。
（1）试在AB上确定是否存在一点E，使AC²=AE·AB，并说明理由：
（2）在（1）的论证下，延长EC至点P，延长CE与圆O交于点D,连接PB,使PB=PE，如图（2），判断PB与圆O得位置关系，并说明理由。
2. 如图，点A在⊙O上，⊙A交⊙O于点B.C，点E是⊙O上任意一点，AE交BC于D，交⊙A于F。（1）AF²=AD·AE成立吗？理由
（2）BE·CE=DE·AE成立吗？理由
（3）点F是△BCE的内心吗？理由。
（4）若圆O得半径为3，圆A得半径为2，当点E运动到圆O得什么位置时，能使DE=8AD？理由

Answer 1

1.（1） 连接OA 做CG垂直OA于G与AB交点即为E，理由如下
证明：因为AC²=AE·AB，角CAB是公共角，所以三角形ACB相似三角形AEC，所以角ACB=角CBA，所以A是中点。
（2）连接OA OB
角ACD+角CAB+BAO=90°
角ACD+角CAB=角CEB=角PBA 角BAO=ABO
所以角PBA+角ABO=90°
所以PB于园o相切
2. （1）连接AB OA
OA垂直平分BC，所以角AEB=角AEC
在圆O中，AEC=角CBA
所以角AEB=角CBA
角CBA=CBA
所以三角形ABE相似三角形ADB
即AB/AD=AE/AB
因为AF=AB
所以AF²=AD·AE
（2）成立
连接AC
由1得角AEB=角AEC
角EBA=角EAC
所以三角形AEC相似三角形BDE
所以BE·CE=DE·AE
（3） 连接AC BF
角EAC=角EBC
角FBC=1/2角FAC
所以角EBF=角CBF
因为角BEF=角CEF
所以F是中心
(4)

Answer 2

考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

专题：几何综合题．

分析：（1）使AC2=AE•AB成立，则应有△AEC∽△ACB，则应有∠B=∠ACE，则应有∠B对的弧与∠ACE对的弧相等，即点A是CAD的中点；

（2）过点B作直径BF，连接CF，根据圆周角定理及已知可得到∠PBCF=90°，OB是圆O的半径，从而得到PB是圆O的切线．

解答：解：（1）在优弧AB上截取弧AD=弧AC，则有∠B=∠ACD，

∵A=∠A，

∴△AEC∽△ACB．

∴AC：AB=AE：AC．

即AC2=AE•AB．

（2）如图b，过点B作直径BF，连接CF，

∵PB=PE，

∴∠PEB=∠PBE．

∵∠PEB=∠A+∠ACD，∠PBE=∠PBC+∠CBE，∠ACD=∠CBA=∠CBE，

∴∠A=∠PBC．

∵BF是直径，

∴∠BCF=-90°．

∵∠A=∠F，∠F+∠CBF=90°，

∴∠PBC+∠CBF=90°．

∵OB是圆O的半径，

∴PB是圆O的切线．

还行吗？

∵BF是直径，

∴∠BCF=-90°．

∵∠A=∠F，∠F+∠CBF=90°，

∴∠PBC+∠CBF=90°．

∵OB是圆O的半径，

∴PB是圆O的切线．

Answer 3

1（1）在圆上截取弧AF=弧AC，连接CF交AB于E
（2）相切
2