Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)， C（5，0），抛物线的对称轴与X轴相交

于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）设点P为抛物线（ ）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；
（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由

Answer 1

解
（1）设抛物线的解析为y=a(x-1)(x-5)，把A（0，4）代入，解得a=4/5，抛物线的解析式为
y=4(x-1)(x-5)/5=4(x-3)^2/5-16/5，抛物线的对称轴x=3。
（2）点P的坐标（6，4）。
（3）直线AC的解析式求得为y=-4x/5+4，过N点作NE垂直X轴于D，交AC于E点。设N[x，4(x-3)^2/5-16/5]，则E(x，-4x/5+4），所以EN=-4x/5+4-[4(x-3)^2/5-16/5]=-4x^2/5+20x/5,△NAC的面积S=0.5*5*(-4x^2/5+20x/5)=-2x^2+10x=-2(x-5/2)^2+25/2，所以当x=5/2，4(x-3)^2/5-16/5=-3，即N的坐标为（5/2，-3）时，△NAC的面积最大为25/2。

Answer 2

解
（1）设抛物线的解析为y=a(x-1)(x-5)，把A（0，4）代入，解得a=4/5，抛物线的解析式为
y=4(x-1)(x-5)/5=4(x-3)^2/5-16/5，抛物线的对称轴x=3。
（2）点P的坐标（6，4）。
（3）直线AC的解析式求得为y=-4x/5+4，过N点作NE垂直X轴于D，交AC于E点。设N[x，4(x-3)^2/5-16/5]，则E(x，-4x/5+4），所以EN=-4x/5+4-[4(x-3)^2/5-16/5]=-4x^2/5+20x/5,△NAC的面积S=0.5*5*(-4x^2/5+20x/5)=-2x^2+10x=-2(x-5/2)^2+25/2，所以当x=5/2，4(x-3)^2/5-16/5=-3，即N的坐标为（5/2，-3）时，△NAC的面积最大为25/2。

Answer 3

（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），
将点A（0，4）代入上式解得：a=4/5
即可得函数解析式为：y=4/5（x-1）（x-5）=4/5x²-24/5x+4=4/5（x-3）²-16/5
故抛物线的对称轴是：x=3；
（2）P点坐标为：（6，4），
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，
又∵点P的坐标中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，
∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，
在Rt△AOM中，AM²=
OA²+OM²=16＋9＝25
∴AM＝5
∵抛物线对称轴过点M，
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，
即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P（6，4）；
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，4/5t²－24/5t+4）（0＜t＜5），
过点N作NG∥y轴交AC于G，作AM⊥NG于M，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=-4/5x+4；
把x=t代入y=-4/5x+4，则可得G（t，-4/5t+4），
此时：NG=-4/5x+4－（45t²－24/5t+4）=-4/5t²+4t，
∵AM+CB=CO，
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN
=1/2AM×NG+1/2NG×CB
=1/2NG•OC
=1/2（-4/5t²+4t）×5
＝－2t²+10t
=-2（t-52）2+252，
∴当t=52时，△CAN面积的最大值为25/2，
由t=5/2，得：y=4/5t²-24/5t+4=-3，
∴N（5/2，-3）．

Answer 4

（1）设抛物线的解析为y=a(x-1)(x-5)，把A（0，4）代入，解得a=4/5，抛物线的解析式为
y=4(x-1)(x-5)/5=4(x-3)^2/5-16/5，抛物线的对称轴x=3。
（2）点P的坐标（6，4）。
（3）直线AC的解析式求得为y=-4x/5+4，过N点作NE垂直X轴于D，交AC于E点。设N[x，4(x-3)^2/5-16/5]，则E(x，-4x/5+4），所以EN=-4x/5+4-[4(x-3)^2/5-16/5]=-4x^2/5+20x/5,△NAC的面积S=0.5*5*(-4x^2/5+20x/5)=-2x^2+10x=-2(x-5/2)^2+25/2，所以当x=5/2，4(x-3)^2/5-16/5=-3，即N的坐标为（5/2，-3）时，△NAC的面积最大为25/2。