Question

求函式z=x3 +y3-3xy的极值

Answer 1

求函式z=x3 +y3-3xy的极值

求z=x³+y³-3xy的极值
解：令 ∂z/∂x=3x²-3y=0，得y=x²..........①
再令 ∂z/∂y=3y²-3x=0，得x=y²..............②
将①代入②式得x=x^4，即x^4-x=x(x³-1)=x(x-1)(x²+x+1)=0，得x₁=0，x₂=1；
故y₁=0；y₂=1；即有驻点M(0，0)和N(1，1)；
对两故驻点分别求二阶偏导数：
M(0，0)：A=∂²z/∂x²=6x=0；B=∂²z/∂x∂y=-3；C=∂²z/∂y²=6y=0；B²-AC=9-0=9>0;
故M不是极值点。
N(1，1)：A=6x=6>0；B=-3；C=6y=6；B²-AC=9-36=-27<0，故N是极小点。
极小值f(x,y)=f(1，1)=1+1-3=-1.

求函式Z=x3+y3+xy的极值

应该要知道x y的范围吧

求函式f(x,y)=x3+y3-3xy的极值

f'x=3x^2-3y
f'y=3y^2-3x
f'x=0,f'y=0
即x^2-y=0
y^2-x=0
消去y x^4-x=0
即x(x-1)(x^2+x+1)=0
x=0或1
y=0或1
x=y=0时f(x,y)=0
x=y=1时f(x,y)=-1

求函式z=x??+y??-3xy的极值

分别对x,y求偏导并令两偏导数均等于0，得x=y=1,即z在点（1，1）取得极值，又A=6x=6＞0,即为极小值，为-1。

求函式f(x,y)=x3-y3-3x+12y-5的极值

f'x=3x²-3=0, 得x=-1 , 1
f'y=-3y²+12=-3(y²-4)=0, 得y=-2, 2
则有4个驻点(1, -2), (1, 2), (-1, -2), (-1, 2)
A=f"xx=6x
B=f"xy=0
C=f"yy=-6y
B²-AC=36xy, 因此当x,y同号时，B²-AC>0, 不是极值点；当x,y异号时，才是极值点。
因此有：
在(1, -2), B²-AC=-72<0, A=6>0, 因此(1, -2)为极小值点，极小值f(1, -2)=1+8-3-24-5=-23;
在(-1, 2), B²-AC=-72<0, A=-6<0, 因此(-1,2)为极大值点，极大值f(-1, 2)=-1-8+3+24-5=13.

求函式z=x^3+3xy^2-15x-12y的极值

αz/αx＝3x^2＋3y^2－15
αz/αy＝6xy－12
令αz/αx＝0，αz/αy＝0，求得驻点(1,2)，(2,1)，(-1,-2)，(-2,-1)
A＝α^2z/αx^2＝6x
B＝α^2z/αxαy＝6y
C＝α^2z/αy^2＝6x
在(1,2)处，A＝6，B＝12，C＝6，B^2－AC＞0，所以(1,2)不是极值点
在(2,1)处，A＝12，B＝6，C＝12，B^2－AC＜0，A＞0，所以(2,1)是极小值，极小值是-28
在(-1,-2)处，A＝-6，B＝-12，C＝-6，B^2－AC＞0，所以(-1,-2)不是极值点
在(-2,-1)处，A＝-12，B＝-6，C＝-12，B^2－AC＜0，A＜0，所以(-2,-1)是极大值，极大值是28

求函式的极值：f(x,y)=x3+8y3-6xy+5

求偏导 另其等于0即可

求函式z=3axy-x3-y3(a>0)的极值

z'x=3ay-3x^2
z'y=3ax-3y^2
令z'x=0,z'y=0
即
ay-x^2=0
ax-y^2=0
解得
x1=0,y1=0
x2=a,y2=a
带入原式得到两个极值：
z=0,z=a

求z=x3+y3-3xy的极值

一、先z对x、y分别求偏导数，并令他们分别等零。联立方程求出驻点（x，y）。
驻点求得：（1，1）、（1，-1）、（-1，-1）、（-1，1）
二、再在对z求x、y的二阶偏导和他们的混合偏导。
令z对x的二阶偏导将上边四个驻点分别带入为A，z对y的二阶偏导将上边四个驻点带入为B，z对xy的混合偏导将上边四个驻点带入为C。
比较：
AC-B^2>0，则是极值点，如果A>0,则是极小值点。如果A<0，则是极大值点。
AC-B^2<0，则不是极值点。
AC-B^2=0，则无法判断。
因为有四个驻点，所以分四个情况带入比较即可。
极值点你自己算算哈~