Question

求∫[x/(1+x+x^2)]dx,

Answer 1

原式＝∫｛x/［（x＋1/2）^2＋3/4］｝dx
　　＝∫｛［（x＋1/2）－1/2］/［（x＋1/2）^2＋3/4］｝d（x＋1/2）.
令x＋1/2＝u,则：
原式＝∫［（u－1/2）/（u^2＋3/4）］du
　　＝∫［u/（u^2＋3/4）］du－（1/2）∫［1/（u^2＋3/4）］du.
令u＝（√3/2）t,则t＝（2√3/3）u,du＝（√3/2）dt,得：
原式＝∫｛（√3/2）t/［（3/4）t^2＋3/4］｝（√3/2）dt
　　　－（1/2）∫｛1/［（3/4）t^2＋3/4］｝（√3/2）dt
　　＝∫［t/（t^2＋1）］dt－（√3/3）∫［1/（t^2＋1）］dt
　　＝（1/2）∫［1/（t^2＋1）］d（t^2＋1）－（√3/3）arctant
　　＝（1/2）ln（t^2＋1）－（√3/3）arctan［（2√3/3）u］＋C
　　＝（1/2）ln（4u^2/3＋1）－（√3/3）arctan（2√3u/3）＋C
　　＝（1/2）ln（4u^2＋3）－（1/2）in3－（√3/3）arctan（2√3u/3）＋C
　　＝（1/2）ln［4（x＋1/2）^2＋3］－（√3/3）arctan［2√3（x＋1/2）/3）＋C
　　＝（1/2）ln（4x^2＋4x＋4）－（√3/3）arctan［（2√3x＋√3）/3］＋C
　　＝（1/2）ln（x^2＋x＋1）＋（1/2）ln4－（√3/3）arctan［（2√3x＋√3）/3］＋C
　　＝（1/2）ln（x^2＋x＋1）－（√3/3）arctan［（2√3x＋√3）/3］＋C