Question

求微分方程y''-2y'+y=xe^x的特解

Answer 1

该方程是二阶线性常系数微分方程
第一步：特征方程：r²-2r﹢1=0 得r1=r2=1
∴齐次通解为y=（C1+C2×x)e^x
第二步：设特解y=x²(ax+b)e^x=(ax³+bx²)e^x
y'=(ax³+bx²+3ax²+2bx)e^x=[ax³+(3a+b)x²+2bx]e^x
y''=[ax³+(3a+b)x²+2bx+3ax²+2(3a+b)x+2b]e^x
把y'和y''代入原方程 求得：6ax+2b=x 得a=1/6,b=0
第三步：y=通解+特解=（C1+C2×x)e^x+(1/6)x³e^x (C1、C2为任意常数）