Question

设f(x)=x^2,0≤x

Answer 1

分段函数f(x)的分段点是x=1,
显然在x-> 1-的时候,f(x)的左极限等于1^2=1,
而x=1及x->1+ 时,f(x)的右极限和函数值都等于1,
所以f(x)在其定义域[0,2]上是连续的,
因此其积分函数
I(x)=∫0到x f(t)dt在[0,2]上也是连续的,
当x∈[0,1) 时,
I(x)=∫0到x t^2 dt =(1/3)x^3
当x∈[1,2]时,
I(x)=∫0到x f(t) dt
=∫0到1 t^2 dt + ∫1到x t dt
=1/3 + ∫1到x t dt
=1/3 +(x^2-1)/2
=(1/2)x^2-1/6
你是错在直接在[1,2]上用牛顿莱布尼茨公式上限减下限,
答案“在[1,2]上”的意思并不是∫(1到2)f(x)dx,
而是积分函数I(x)=∫0到x f(t) 中的积分上限x在[1,2]上
要注意I(x)=∫0到x f(t)dt 这个定积分是从0积到x的,
所以在[1,2]上 要先从0积到1,再加上1积到x