Question

施密特正交化公式可以用于特征值为零吗?

Answer 1

1. 向量的内积、长度、正交
(1)两  维向量



内积



(2)非负实数  称为向量  的长度.

当  时，向量  称为单位向量. 

(3) 当  时,称向量  与  正交.零向量与任何向量都正交.

2. 正交向量组
一组两两正交的非零向量称为正交向量组.正交向量组一定线性无关.

施密特正交化:设向量组  线性无关,



则  为正交向量组,且与向量组  等价.

设维向量  是向量空间  的一个基, 如果  两两正交, 且都是单位向量, 则 它是的一个标准正交基

3. 正交矩阵
若  阶矩阵  满足 , 则称  为正交矩阵.

 为正交矩阵可逆,且



的标准正交基.

4. 特征值与特征向量
设  为  阶矩阵

(1) 若有数  及非零列向量 ,使



则称  是  的特征值,  为  的对应于特征值  的特征向量.

(2)  称为特征方程，特征方程的根就是  的特征值,在复数范围内  阶矩阵  有  个特征值 (重根按重数计算).

(3) 设  是  的  个特征值,则

(i) 

(ii)  可递白  的特征值全不为零;

(iii) 若  是  的一个特征值, 则  是矩 阵  的特征值，这里



(4) 设  是方阵  的特征值,则齐次方程



的非零解就是方阵  的对应于特征值的特征向量.

对应于不同特征值的特征向量是线性无关的

Answer 2

数学篇42:向量组的施密特正交化以及矩阵的特征值与特征向量

2021年11月14日(ii) 可递白 的特征值全不为零; (iii) 若 是 的一个特征值, 则 是矩 阵 的特...
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施密特正交化
4月13日施密特正交化? —— 特征值无重根,特征向量自然正交,不需正交化。 特征值有重根时,重根对应的特征向量一般不正交,要求正交变换时需要正交化。
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施密特正交化公式可以用于特征值为零吗
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Answer 3

特征值无重根,特征向量自然正交,不需正交化。 特征值有重根时,重根对应的特征向量一般不正交,要求正交变换时需要正交化。

Answer 4

是的，可以用于特征值为零的情况。在施密特正交化过程中，每个向量都会被投影到前面向量张成的空间上，如果向量的特征值为零，它在该空间中的投影也为零，因此不会影响施密特正交化的过程。

Answer 5

施密特正交化公式可以用于特征值为零。施密特正交化公式可以用于特征值为零。