Question

F1和F2分别为双曲线xx/aa-yy/bb=1 (a,b>0)的左右焦点 P为左支上任意点,若|PF2|^2/|PF1|的最小值为8a,

离心率范围为多少？
答案已经知道了，由焦半径公式可得
(ex0+a)^2=8a(ex0-a)
(ex0-3a)^2=0
exo=3a
x0=3a/e>=a 请问为什么3a/e>=a?

Answer 1

你给的答案就有问题：
设 P(x0,y0)为左支上任意点, x0≤-a
|PF2|=a-ex0，|PF1}=-a-ex0
∵|PF2|^2/|PF1|的最小值为8a,
∴|PF2|^2/|PF1|≥8a
∴(a-ex0)^2≥8a(-ex0-a)
(ex0+3a)^2≥0
等号必须能成立，
则 ex0+3a=0能成立
-x0=3a/e能成立
（需3a/e在变量-x0的变化范围内）
∵x0≤-a ∴-x0≥a
∴3a/e≥a

下面是我的另一种解法：
记|PF1|=n,|PF2|=m
|PF2|^2/|PF1|=m^2/n=(n+2a)^2/n
=(n^2+4an+4a^2)/n
=n+4a^2/n+4a≥2√(4a^2)+4a=8a
当且仅当n=4a^2/n，n^2=4a^2,
n=2a时取等号
|PF1|2/|PF2|的最小值为8a
则n=2a能够成立
【常数2a在n=|PF1|的范围内，
才有机会相等，|PF1|∈[c-a,+∞）】
∵n≥c-a ∴2a≥c-a,3a≥c
e=c/a≤3,又e>1
∴1<e≤3

Answer 2

白癜风给你发南方的那份对你放电脑趺