Question

什么是聚点存在？？

Answer 1

聚点是拓扑空间的基本概念之一。

设A为拓扑空间X的子集，a∈X，若a的任意邻域都含有异于a的A中的点，则称a是A的聚点。集合A的所有聚点的集合称为A的导集，聚点和导集等概念是康托尔(Cantor,G.(F.P.))研究欧几里得空间的子集时首先提出的。

聚点存在定理

a是X的聚点的充要条件是：存在X中的各项不同的数列

，使得

事实上，只要证明在

且

的数列

中，可以选出各项不同的子数列就可。因为

且

，这说明该数列不可能只有有限多个不同项组成(否则必有一项的值在

中无穷次出现，这样

就收敛到该值，而它又不等于a，从而得出矛盾)，取这些不同项，按原来的顺序排列后所得数列就是定理所要求的数列。

例 给出以[0，1]上所有实数为聚点的数列。 

解利用(0，1)上的有理数集的聚点就是[0，1]这个事实，来构造数列如下：

当然上述数列的项有相同的，如果舍去和前面相同的项的话，就得到一个各项不同的数列，它以[0，1]上实数为聚点，而各项又都是有理数。