Question

斜抛运动曲率半径的求解方法

Answer 1

斜抛运动有斜向上抛、斜向下抛,以下为斜向上抛来说问题.
对于斜向上抛运动,上升阶段的轨迹与下落阶段的轨迹是对称的,所以只对上升阶段来说求曲率半径的方法.
　　设抛出时的初速大小是V0,它与水平方向成θ角,对于给定的斜抛运动,V0和θ是确定的常量.
将初速V0正交分解在水平和竖直方向,水平分速度是　V0x＝V0*cosθ　,V0x是常量.
竖直分速度是　V0y＝V0*sinθ　,V0y是常量.
以下推导过程中,只用V0x和V0y表示.
抛出时间为 t 时,水平分速度是　Vx＝V0x
竖直分速度是　Vy＝V0y－g*t　　（上升阶段,Vy＞0）
合速度大小是　V＝根号（Vx^2＋Vy^2）＝根号[ V0x^2＋（V0y－g*t）^2 ]
合速度与水平方向夹角设为Ф ,则　tanФ＝Vy / Vx＝（V0y－g*t）/ V0x
合速度方向就是该处轨迹的切线方向,与切线垂直的就是法线,
显然,法线与水平方向夹角是　A＝90度－Ф　
物体在空中只受重力作用,重力在此时分解在切向和法向,那么沿法向的分量就是法向合力（“向心力”）,得　F法＝F向＝mg*sin（90度－Ф）
由“向心力”公式得　F法＝F向＝m*V^2 / R　
上式中的　R　就是所要求的物体所在处的曲率半径!
　　mg*sin（90度－Ф）＝m*V^2 / R
　　mg*sin（90度－Ф）＝m*[ V0x^2＋（V0y－g*t）^2 ] / R
所求的曲率半径是　R＝[ V0x^2＋（V0y－g*t）^2 ] / [ g*sin（90度－Ф）]
＝[ V0x^2＋（V0y－g*t）^2 ] / （ g*cosФ）
因　1/cosФ＝根号[1＋(tanФ)^2]＝根号｛ 1＋[（V0y－g*t）/ V0x]^2 }
　　所以　R＝[ V0x^2＋（V0y－g*t）^2 ] *根号｛ 1＋[（V0y－g*t）/ V0x]^2 } / g