Question

拉格朗日中值定理求极限

Answer 1

利用拉格朗日中定值求极限如下：

拉格朗日中值定理求极限的公式为：lim［ln（1+tanx）-ln（1+sinx）］/x³ （x→0）。

根据拉格朗日中值定理，对每一个在0附近邻域的x，tanx~sinx是一个考虑的区间，设f（x）＝ln（1+x），那么有：ln（1+tanx）-ln（1+sinx）

＝f'（ξ）·（tanx-sinx），f'（ξ）＝1/（1+ξ），且ξ在tanx与sinx之间。

我们可以把ξ看成是x的一个函数即ξ（x），那有极限＝lim［（tanx-sinx）/（1+ξ（x））］/x³。

x→0时，sinx和tanx都→0，所以ξ（x）→0。故＝lim（tanx-sinx）/x³，根据洛必达法则就可得出极限为1/2。

拉格朗日中值定理的运动学意义以及案例：

一、拉格朗日中值定理的运动学意义：

拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。

可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

二、求解案例：

对于无约束条件的函数求极值，主要利用导数求解法。

例如求解函数f(x,y)=x3-4×2+2xy-y2+1的极值。步骤如下：

（1）求出f(x,y)的一阶偏导函数f’x(x,y),f’y(x,y)。

f’x(x,y) = 3×2-8x+2y

f’y(x,y) = 2x-2y

（2）令f’x(x,y)=0,f’y(x,y)=0，解方程组。

3×2-8x+2y = 0

2x-2y = 0

得到解为(0,0),(2,2)。这两个解是f(x,y)的极值点。